Formelblatt – LINA2 Nachklausur
Kompakte Übersicht aller wichtigen Formeln und Sätze. Zum schnellen Nachschlagen und als letzte Wiederholung vor der Klausur.
1. Komplexe Zahlen
| Formel | |||
|---|---|---|---|
| $\overline{a+bi} = a - bi$ | Konjugation | ||
| $\ | a+bi\ | = \sqrt{a^2+b^2}$ | Betrag |
| $z \cdot \bar{z} = \ | z\ | ^2$ | |
| $z = r e^{i\varphi}$ | Polarform | ||
| $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ | Euler | ||
| $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$ |
2. Vektorräume
$$\dim(V) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Bild}(f))$$
- Kern = Lösungsraum von $Ax = 0$
- Bild = Spaltenraum von $A$ (Pivotspalten der Originalmatrix)
- Rang = Anzahl Pivotspalten
3. Determinanten
$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$
$$\det(A^T) = \det(A)$$
$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$
$$\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A) \quad (A \in K^{n \times n})$$
$$\det(SAS^{-1}) = \det(A)$$
Dreiecksmatrix: $\det(A) = \prod a_{ii}$
Laplace ($i$-te Zeile): $\det(A) = \sum_j (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$
4. Eigenwerte
$$\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0$$
$$1 \leq \text{geo. VF}(\lambda) \leq \text{alg. VF}(\lambda)$$
$$\det(A) = \prod_i \lambda_i, \qquad \text{Spur}(A) = \sum_i \lambda_i$$
Diagonalisierbar $\iff$ geo. VF = alg. VF für alle EW
5. Skalarprodukte
Reell: $\langle x | y \rangle = x^T y$
Komplex: $\langle x | y \rangle = \bar{x}^T y = x^* y$
Funktionen: $\langle f | g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x) \, dx$
Norm: $\|v\| = \sqrt{\langle v|v\rangle}$
Cauchy-Schwarz: $|\langle u|v\rangle| \leq \|u\| \cdot \|v\|$
6. Gram-Schmidt
$$\tilde{e}_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle e_j | v_k \rangle \, e_j$$
$$e_k = \frac{\tilde{e}_k}{\|\tilde{e}_k\|}$$
7. Jordan-Normalform
Aus JNF $J$ ablesen:
| Formel | |
|---|---|
| char. Polynom | $\chi_A = \prod (\lambda_i - \lambda)^{a_i}$ wobei $a_i$ = alg. VF |
| Minimalpolynom | $\mu_A = \prod (\lambda - \lambda_i)^{s_i}$ wobei $s_i$ = größter Block zu $\lambda_i$ |
| geo. VF($\lambda$) | Anzahl Blöcke zu $\lambda$ |
| alg. VF($\lambda$) | Summe der Blockgrößen zu $\lambda$ |
| Diagonalisierbar? | Alle Blöcke Größe 1 |
| $\det(A) = \det(J)$ | Produkt der Diagonaleinträge |
🎓 Wikipedia-Ergänzung: Minimalpolynom
Das Minimalpolynom $\mu_A$ einer quadratischen $n \times n$-Matrix $A$ über einem Körper $K$ ist das normierte Polynom kleinsten Grades, für das $\mu_A(A) = 0$ (die Nullmatrix) gilt.
Eigenschaften:
- Die Nullstellen des Minimalpolynoms stimmen genau mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms (also den Eigenwerten) überein, nur ggf. mit kleinerer algebraischer Vielfachheit.
- Die Vielfachheit eines Eigenwerts $\lambda$ im Minimalpolynom entspricht der Größe des größten Jordan-Blocks zu diesem Eigenwert in der jordanschen Normalform.
- Satz von Cayley-Hamilton: Weil $\chi_A(A) = 0$, ist das char. Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms ($\mu_A$ teilt $\chi_A$).
8. Cayley-Hamilton & Matrixexponential
$$\chi_A(A) = 0 \quad \text{(Cayley-Hamilton)}$$
$$\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$$
Spezialfälle:
- $D = \text{diag}(\lambda_i)$: $\exp(D) = \text{diag}(e^{\lambda_i})$
- $A^2 = A$ (idempotent): $\exp(A) = I + (e-1)A$
- $A^2 = 0$ (nilpotent Ord. 2): $\exp(tA) = I + tA$
- DGL: $\dot{x} = Ax \implies x(t) = e^{tA} x_0$
9. Spezialmatrizen
| Typ | Bedingung | Eigenschaft | ||
|---|---|---|---|---|
| Symmetrisch | $A = A^T$ | Reelle EW, orthogonal diagonalisierbar | ||
| Orthogonal | $A^TA = I$ | $\det = \pm 1$, Isometrie | ||
| Unitär | $A^*A = I$ | $ | \lambda_i | = 1$ |
| Normal | $A^A = AA^$ | Unitär diagonalisierbar | ||
| Projektion | $P^2 = P$ | EW $\in \{0, 1\}$ | ||
| Nilpotent | $A^k = 0$ | Alle EW = 0 |
10. Isometrien & Orientierung
$$|\det(A)| = 1 \iff \text{volumentreu}$$
$$\det(A) > 0 \iff \text{orientierungserhaltend}$$
Orthogonal: $A^TA = I$, $\det(A) = \pm 1$
- $\det = +1$: Rotation ($SO(n)$)
- $\det = -1$: Spiegelung
11. Beweistechniken – Kurzreferenz
Induktion: IA (Basis) → IV (Annahme) → IS (Schritt)
Widerspruch: Negation annehmen → Widerspruch herleiten
Unterraum zeigen: 1) $0 \in U$ 2) $u+w \in U$ 3) $\lambda u \in U$
"Zeige $A = B$" bei Mengen: $A \subseteq B$ und $B \subseteq A$
12. Flüchtigkeitsfehler-Checkliste ⚠️
- Konjugation im 1. Argument bei komplexem SP: $\langle f|g\rangle = \int \overline{f} \cdot g$
- Vorzeichen bei Determinante: $(-1)^{i+j}$ bei Laplace
- Normierung nicht vergessen bei Gram-Schmidt
- $\det(\lambda A) = \lambda^{\mathbf{n}} \det(A)$, nicht $\lambda \det(A)$
- Symmetrische Matrizen: EW zu verschiedenen EW sind automatisch orthogonal
- Jordan-Block: 1en auf Nebendiagonale, nicht Diagonale
- Minimalpolynom: größter Block, nicht kleinster!
- $A^2 = A$ beweisen, bevor du es in 4.3 und 4.4 verwendest