Checkliste – Was muss ich können?

Gehe jedes Thema durch und bewerte ehrlich: ✅ kann ich | ⚠️ unsicher | ❌ muss ich lernen
Bearbeite die ❌ und ⚠️ Themen priorisiert!

Thema 1: Komplexe Zahlen (Tag 1)

• Grundrechenarten mit komplexen Zahlen (Addition, Multiplikation, Division)
• Konjugation und Betrag berechnen
• Polarform: $z = re^{i\varphi}$ umrechnen
• Geometrische Bedeutung der Multiplikation (Drehstreckung)
• Eulersche Formel: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$

Thema 2: Vektorräume & Lineare Abbildungen (Tag 1)

• Vektorraum-Axiome aufzählen können
• Unterraum-Kriterium anwenden (3 Bedingungen prüfen)
• Lineare Unabhängigkeit prüfen
• Basis und Dimension bestimmen
• Lineare Abbildung: Definition und Matrixdarstellung
• Dimensionsformel (Rangsatz): $\dim(V) = \dim(\ker) + \dim(\text{Bild})$

Thema 3: Bild-Kern-Algorithmus (Tag 2)

• Kern einer Matrix berechnen (Gauß → homogenes LGS lösen)
• Bild einer Matrix bestimmen (Pivotspalten der Originalmatrix)
• Rang und Defekt bestimmen
• Injektivität/Surjektivität/Bijektivität über Kern/Bild prüfen

Thema 4: Determinanten (Tag 2)

• Determinante einer 2×2- und 3×3-Matrix berechnen
• Laplace-Entwicklung anwenden
• Dreiecksmatrix: Determinante = Produkt der Diagonale
• Rechenregeln: $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(SAS^{-1}) = \det(A)$, etc.
• Geometrische Bedeutung erklären (Volumen, Orientierung)
• Begründen können: Warum $\det(A) = \det(J)$ bei JNF?

Thema 5: Eigenwerte & Diagonalisierung (Tag 3) ⚡

• Eigenwerte über $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0$ berechnen
• Eigenräume berechnen
• Algebraische vs. geometrische Vielfachheit unterscheiden und berechnen
• Diagonalisierbarkeits-Kriterium anwenden (geo = alg für jeden EW)
• Matrix diagonalisieren: $A = SDS^{-1}$
• Zusammenhang: $\det(A) = \prod \lambda_i$, $\text{Spur}(A) = \sum \lambda_i$
• Beweis führen: ONS-Eigenschaft nutzen für Eigenwert-Nachweis (Klausur 2.1)
• Begründen: Defekt bei EW = 0 (Klausur 2.2)

Thema 6: Skalarprodukte (Tag 4) ⚡

• Axiome eines reellen Skalarprodukts
• Axiome eines komplexen Skalarprodukts (hermitesch!)
• Integral-Skalarprodukt $\langle f|g\rangle = \int \overline{f}g \, dx$ korrekt anwenden
• Norm berechnen: $\|v\| = \sqrt{\langle v|v\rangle}$
• Orthogonalität prüfen: $\langle u|v\rangle = 0$
• Konjugation im 1. Argument nicht vergessen!

Thema 7: Gram-Schmidt-Verfahren (Tag 4) ⚡

• GS-Algorithmus Schritt für Schritt aufschreiben können
• Projektion: $\text{proj}_{e}(v) = \langle e | v \rangle \, e$
• Residuum: $\tilde{e}_k = v_k - \sum_{j
• Normierung: $e_k = \tilde{e}_k / \|\tilde{e}_k\|$
• GS mit komplexem Integral-Skalarprodukt durchführen (Klausur 3!)
• Probe: Ergebnis auf Orthonormalität prüfen

Thema 8: Jordan-Normalform (Tag 5) ⚡

• Jordan-Blöcke erkennen und aufschreiben
• Aus JNF ablesen: char. Polynom, Minimalpolynom, geo. VF, alg. VF
• Eigenraum über $V$-Matrix und JNF-Struktur bestimmen
• Hauptvektoren identifizieren und berechnen
• Zusammenhang JNF ↔ Diagonalisierbarkeit erklären

Thema 9: Minimalpolynom & Cayley-Hamilton (Tag 5) ⚡

• Minimalpolynom Definition und Berechnung
• Satz von Cayley-Hamilton formulieren: $\chi_A(A) = 0$
• Cayley-Hamilton anwenden, um Matrixgleichungen zu zeigen (z.B. $A^2 = A$)
• Zusammenhang Min.poly ↔ JNF ↔ Char. Poly erklären

Thema 10: Matrixexponential (Tag 5-6) ⚡

• Definition: $\exp(A) = \sum_{k=0}^\infty A^k/k!$
• Für Diagonalmatrizen: $\exp(D) = \text{diag}(e^{\lambda_i})$
• Spezialfall idempotente Matrix: $\exp(A) = I + (e-1)A$
• Anwendung auf DGL: $\dot{x} = Ax \Rightarrow x(t) = e^{tA} x_0$
• Induktionsbeweis: $A^m = A$ für $m \geq 1$ (Klausur 4.3)

Thema 11: Beweistechniken (Tag 6)

• Vollständige Induktion sauber aufschreiben (IA, IV, IS)
• Direkter Beweis: Voraussetzungen → logische Kette → Behauptung
• Widerspruchsbeweis: Gegenteil annehmen → Widerspruch herleiten
• "Zeige, dass..." Aufgaben: Was ist zu zeigen? Was darf ich verwenden?
• Begründungen präzise formulieren (nicht nur "Ergebnis hinschreiben")

Thema 12: Bilinearformen & Adjungiertheit (Tag 7)

• Bilinearform, Sesquilinearform: Definition und Unterschied
• Darstellungsmatrix (Gram-Matrix) aufstellen
• Adjungierte Matrix: $A^*$ im Reellen ($A^T$) und Komplexen ($\overline{A}^T$)
• Selbstadjungiert, schiefsymmetrisch, normal: Definitionen
• Trigonalisierbarkeit (jede Matrix über $\mathbb{C}$ ist trigonalisierbar)

Thema 13: Isometrien & Orthogonale Matrizen (Tag 7)

• Isometrie-Definition: $\|Av\| = \|v\|$
• Orthogonale Matrix: $A^TA = I$, Spalten = ONB
• $\det(A) = \pm 1$ für orthogonale Matrizen
• Rotation ($\det = 1$) vs. Spiegelung ($\det = -1$) unterscheiden
• Spektralsatz: symmetrische Matrizen = orthogonal diagonalisierbar

Thema 14: Gruppentheorie Basics (Tag 7)

• Gruppe: 4 Axiome aufzählen
• Beispiele: $GL(n)$, $SL(n)$, $O(n)$, $SO(n)$, $S_n$
• Untergruppen-Kriterium
• Körper: Kombination zweier Gruppenstrukturen + Distributivgesetz

🎯 Prioritäts-Zusammenfassung

MUSS (>60% der Klausurpunkte):

1. Eigenwerte, Vielfachheiten, Defekt (Thema 5)
2. Gram-Schmidt mit komplexem SP (Thema 7)
3. JNF ablesen & interpretieren (Thema 8)
4. Cayley-Hamilton & Matrixexponential (Thema 9-10)
5. Determinanten-Regeln & Bedeutung (Thema 4)

SOLLTE:

1. Beweistechniken (Thema 11)
2. Bild-Kern-Algorithmus (Thema 3)
3. Skalarprodukt-Axiome (Thema 6)

KANN (wenn Zeit übrig):

1. Bilinearformen, Isometrien (Thema 12-13)
2. Gruppentheorie (Thema 14)