4. Skalarprodukte & Gram-Schmidt-Verfahren

⚡ PRIORITÄT 3 – Hier hast du 16/30 Punkte verloren (Aufgabe 3)!

4.1 Skalarprodukte – Axiome

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Das Skalarprodukt ist letztlich nur das Mathe-Wort für ein Werkzeug, das universell Längen messen und Winkel (Orthogonalität) zwischen zwei Elementen berechnen kann.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 9, AP 1: Euklidische Räume
- Übungsblatt 9, AP 4: Unitäre Vektorräume

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Das Skalarprodukt ist letztlich nur das Mathe-Wort für ein Werkzeug, das universell Längen messen und Winkel (Orthogonalität) zwischen zwei Elementen berechnen kann.

Reelles Skalarprodukt

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Das simple Punktprodukt aus der Schule. $x_1 y_1 + x_2 y_2$. Es ist zu sich selbst immer komplett symmetrisch.

$\langle \cdot | \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ heißt Skalarprodukt, wenn:

1. Symmetrie: $\langle u | v \rangle = \langle v | u \rangle$
2. Linearität (im 2. Argument): $\langle u | \alpha v + \beta w \rangle = \alpha\langle u | v \rangle + \beta\langle u | w \rangle$
3. Positive Definitheit: $\langle v | v \rangle \geq 0$ und $\langle v | v \rangle = 0 \iff v = 0$

Komplexes Skalarprodukt (hermitesch) ← KLAUSURRELEVANT!

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Im Komplexen droht ein Problem: Multipliziert man i mit sich selbst, ergäbe das eine negative Länge (-1). Darum muss im Skalarprodukt das erste Argument IMMER konjugiert werden! Dabei gilt: $\langle u|v

angle = \overline{\langle v|u

angle}$.

$\langle \cdot | \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{C}$ heißt Skalarprodukt, wenn:

1. Hermitesche Symmetrie: $\langle u | v \rangle = \overline{\langle v | u \rangle}$
2. Antilinearität im 1. Argument: $\langle \alpha u | v \rangle = \overline{\alpha}\langle u | v \rangle$
3. Linearität im 2. Argument: $\langle u | \alpha v \rangle = \alpha\langle u | v \rangle$
4. Positive Definitheit: $\langle v | v \rangle \geq 0$ und $\langle v | v \rangle = 0 \iff v = 0$

⚠️ VORSICHT: Im Komplexen ist $\langle u | v \rangle \neq \langle v | u \rangle$, sondern $\langle u | v \rangle = \overline{\langle v | u \rangle}$!

Standard-Skalarprodukte

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Denk daran: Integrale sind das absolute Äquivalent zur Vektor-Summe, wenn du von diskreten Spaltenvektoren zu kontinuierlichen Funktionen wechselst. Ein Integral über $f(x)g(x)$ IST ein Skalarprodukt.

• $\mathbb{R}^n$: $\langle x | y \rangle = x^T y = \sum_{i=1}^n x_i y_i$
• $\mathbb{C}^n$: $\langle x | y \rangle = x^ y = \sum_{i=1}^n \overline{x_i} y_i$ (wobei $x^ = \overline{x}^T$)
• Funktionenraum: $\langle f | g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x) \, dx$

Norm (durch Skalarprodukt induziert)

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Jedes Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt die quadrierte Länge. Wenn du am Ende die Wurzel ziehst, ist dein Vektor 'genormt' (Länge 1).

$$\|v\| = \sqrt{\langle v | v \rangle}$$

🎓 Wikipedia-Ergänzung: Cauchy-Schwarz & Norm-Eigenschaften

Nach Wikipedia (Skalarprodukt):

• Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: $|\langle x | y \rangle|^2 \leq \langle x | x \rangle \cdot \langle y | y \rangle$. Diese liefert die obere Schranke für Skalarprodukte und begründet die Dreiecksungleichung der Norm. Die obige Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
• Allgemeiner Winkelbegriff: Durch Umstellen auf $\cos(\varphi) = \frac{\langle x | y \rangle}{\|x\|\|y\|}$ lässt sich auch in abstrakten Vektorräumen (z. B. Funktionenräumen mit L2-Skalarprodukt d. h. Integralen) ein "Winkel" zwischen Funktionen definieren. Darauf basiert unsere gesamte Auffassung von "Orthogonalität".
• Aus dem Skalarprodukt abgeleitete Normen erfüllen immer die Parallelogrammgleichung.

4.2 Orthogonalität

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Zwei Vektoren (oder Funktionen!) haben absolut keine Berührungspunkte, keine gemeinsame Richtung. Sie spannen den Raum maximal breit auf.

Definitionen

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Orthogonal = Senkrecht (Skalarprodukt = 0). Orthonormal = Senkrecht UND auf Länge 1 normiert. Ein ONS ist wahnsinnig bequem zu rechnen, da fast jede Multiplikation in 0 oder 1 zerfällt.

• Orthogonal: $u \perp v \iff \langle u | v \rangle = 0$
• Orthogonalsystem (OS): Paarweise orthogonale, nicht-null Vektoren
• Orthonormalsystem (ONS): OS mit $\|v_i\| = 1$ für alle $i$
• Orthonormalbasis (ONB): ONS, das auch Basis ist

Orthogonales Komplement

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Das ist genau die Menge aller Vektoren im Raum, die auf deinem Unterraum senkrecht stehen. Wenn du auf dem flachen Fußboden deines Zimmers stehst, ist das Komplement genau die Achse, die zur Decke zeigt.

$$U^\perp = \{v \in V \mid \langle v | u \rangle = 0 \text{ für alle } u \in U\}$$

Es gilt: $V = U \oplus U^\perp$ (direkte Summe)

4.3 Gram-Schmidt-Verfahren – Schritt für Schritt

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Der systematische 'Schatten-Auslöscher'-Algorithmus. Wir wollen saubere Orthogonalachsen formen, indem wir iterativ immer das abziehen, was nicht senkrecht ist.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 6, AP 1: Gram-Schmidt-Verfahren

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Der systematische 'Schatten-Auslöscher'-Algorithmus. Wir wollen saubere Orthogonalachsen formen, indem wir iterativ immer das abziehen, was nicht senkrecht ist.

Eingabe: Linear unabhängige Vektoren $v_1, \ldots, v_k$

Ausgabe: Orthonormalbasis $e_1, \ldots, e_k$

Algorithmus

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Wenn du von $v_2$ den Term $\langle u_1|v_2

angle u_1$ subtrahierst, schneidest du genau den Schatten ab, den $v_2$ auf $u_1$ wirft. Zurück bleibt genau der Teil, der strikt senkrecht absteht. Das klappt exakt so auch mit Polynomen!

Schritt 1: Normiere den ersten Vektor

$$e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}$$

Schritt 2: Subtrahiere Projektion, dann normiere

$$\tilde{e}_2 = v_2 - \langle e_1 | v_2 \rangle \, e_1$$

$$e_2 = \frac{\tilde{e}_2}{\|\tilde{e}_2\|}$$

Schritt $k$: Subtrahiere alle vorherigen Projektionen, dann normiere

$$\tilde{e}_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle e_j | v_k \rangle \, e_j$$

$$e_k = \frac{\tilde{e}_k}{\|\tilde{e}_k\|}$$

MERKE die Reihenfolge: Projektion abziehen → normieren. NICHT umgekehrt!

🎓 Wikipedia-Ergänzung: Geometrisches Prinzip & QR-Zerlegung

Nach Wikipedia (Gram-Schmidt-Verfahren):

• Geometrisches Prinzip: Man zieht von einem Vektor $w_k$ genau die Projektions-Anteile der bereits ermittelten orthogonalen Vektoren $v_1, \dots, v_{k-1}$ ab, sodass der "abgeschnittene" Differenzvektor danach konsequent senkrecht auf allen steht.
• Sukzessiver Aufspann: Eine essenzielle Eigenschaft ist, dass nach jedem Zwischenschritt $i$ die neu berechneten Vektoren $(e_1, \dots, e_i)$ exakt denselben Untervektorraum erzeugen wie die Startvektoren $(w_1, \dots, w_i)$.
• Die Matrix-Sicht (QR-Zerlegung): Fasst man die neu gewonnenen orthonormalen Vektoren als Spalten einer Matrix $Q$ zusammen und die ursprünglichen $w$-Vektoren als Matrix $A$, so gilt $A = QR$ (wobei $R$ eine obere Dreiecksmatrix ist). Gram-Schmidt ist faktisch der numerische Weg zur QR-Zerlegung.

4.4 Klausuraufgabe 3 – Komplette Musterlösung

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Hier haben fast alle Punkte verloren! Beim komplexen Integral wird die Konjugation vergessen. Wenn du $ix$ in den linken Slot des Skalarprodukts knallst, MUSS das Integral mit $-ix$ (konjugiert) weiterrechnen sonst wird das Ergebnis falsch.

Gegeben: $f_1(x) = 1$, $f_2(x) = ix$ auf $[0,1]$

Skalarprodukt: $\langle f | g \rangle = \int_0^1 \overline{f(x)} g(x) \, dx$

Gesucht: ONB von $\text{span}(f_1, f_2)$

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Schritt 1: Normiere $f_1$

$$\|f_1\|^2 = \langle f_1 | f_1 \rangle = \int_0^1 \overline{1} \cdot 1 \, dx = \int_0^1 1 \, dx = 1$$

$$\|f_1\| = 1$$

$$e_1(x) = \frac{f_1(x)}{\|f_1\|} = 1$$

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Schritt 2: Berechne $\langle e_1 | f_2 \rangle$

$$\langle e_1 | f_2 \rangle = \int_0^1 \overline{1} \cdot ix \, dx = i \int_0^1 x \, dx = i \cdot \frac{1}{2} = \frac{i}{2}$$

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Schritt 3: Orthogonalisiere $f_2$

$$\tilde{e}_2(x) = f_2(x) - \langle e_1 | f_2 \rangle \cdot e_1(x)$$

$$= ix - \frac{i}{2} \cdot 1 = ix - \frac{i}{2} = i\left(x - \frac{1}{2}\right)$$

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Schritt 4: Normiere $\tilde{e}_2$

$$\|\tilde{e}_2\|^2 = \langle \tilde{e}_2 | \tilde{e}_2 \rangle = \int_0^1 \overline{i\left(x - \frac{1}{2}\right)} \cdot i\left(x - \frac{1}{2}\right) dx$$

$$= \int_0^1 (-i)\left(x - \frac{1}{2}\right) \cdot i\left(x - \frac{1}{2}\right) dx$$

$$= \int_0^1 (-i \cdot i)\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx = \int_0^1 1 \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx$$

(weil $-i \cdot i = -i^2 = -(-1) = 1$)

$$= \int_0^1 \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx = \left[\frac{(x - \frac{1}{2})^3}{3}\right]_0^1 = \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} - \frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{12}$$

$$\|\tilde{e}_2\| = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$$

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Schritt 5: Ergebnis

$$e_1(x) = 1$$

$$e_2(x) = \frac{\tilde{e}_2}{\|\tilde{e}_2\|} = \frac{i(x - \frac{1}{2})}{\frac{1}{2\sqrt{3}}} = 2\sqrt{3} \cdot i\left(x - \frac{1}{2}\right)$$

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Probe: $\langle e_1 | e_2 \rangle = \int_0^1 1 \cdot 2\sqrt{3} \, i(x - \frac{1}{2}) \, dx = 2\sqrt{3} i \int_0^1 (x - \frac{1}{2}) \, dx = 2\sqrt{3} i \cdot 0 = 0$ ✓

4.5 Projektionsoperatoren

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Wenn man eine zu schwere Gleichung lösen will, projiziert man sie mit $P_U$ auf einen einfacheren Unterraum. Das stutzt die Gleichung auf das Wesentliche zurück.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 5, AP 4: Galerkin-Projektion
- Übungsblatt 6, AP 2: Projektionsabbildung

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Wenn man eine zu schwere Gleichung lösen will, projiziert man sie mit $P_U$ auf einen einfacheren Unterraum. Das stutzt die Gleichung auf das Wesentliche zurück.

Orthogonalprojektion auf einen Unterraum

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Hast du eine ONS-Basis, baust du dir deine Projektion direkt aus Summen zusammen. Alles, was nicht reinpasst, fällt atomar zu Null ab.

Sei $U = \text{span}(u_1, \ldots, u_k)$ mit ONB $e_1, \ldots, e_k$. Dann:

$$P_U(v) = \sum_{i=1}^{k} \langle e_i | v \rangle \, e_i$$

Eigenschaften

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$P^2 = P$ (idempotent) heißt: Wenn ich einmal einen Taschenlampenschatten auf den Boden geworfen habe, bleibt es der exakt selbe Schatten, wenn ich die Lampe nochmal von oben drauf scheinen lasse.

• $P^2 = P$ (idempotent)
• $P^* = P$ (selbstadjungiert)
• $\text{Bild}(P) = U$
• $\ker(P) = U^\perp$
• $I - P$ ist die Projektion auf $U^\perp$