5. Jordan-Normalform, Minimalpolynom & Cayley-Hamilton

⚡ PRIORITÄT 2 – Hier hast du 27/50 Punkte verloren (Aufgaben 1 + 4)!

5.1 Jordan-Normalform (JNF)

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Hier wird's manchmal unübersichtlich. Die JNF ist das Notpflaster der Linearen Algebra, wenn eine Matrix einfach nicht genug Eigenvektoren hat, um sie sauber zu diagonalisieren. Wir retten, was zu retten ist.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 7, AP 1: Vorbereitungen auf den JNF-Existenzsatz
- Übungsblatt 7, AP 4: Berechnung einer Jordan-Normalform

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Hier wird's manchmal unübersichtlich. Die JNF ist das Notpflaster der Linearen Algebra, wenn eine Matrix einfach nicht genug Eigenvektoren hat, um sie sauber zu diagonalisieren. Wir retten, was zu retten ist.

Jordan-Block

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Warum stehen da Einsen über der Diagonale? Sie bedeuten geometrisch: Die Matrix greift den Vektor, und anstatt ihn nur zu strecken, schubst sie ihn anteilig in die Richtung des vorherigen Vektors. Das erzeugt eine Verkettung (Jordan-Kette).

Ein Jordan-Block der Größe $k$ zum Eigenwert $\lambda$:

$$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$

Jordan-Normalform

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Ein hübscher Block-Baukasten. Wir sortieren die Matrix so um, dass die Blöcke als geschlossene Ketten-Einheiten auf der Diagonale rumhängen.

Jede Matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ist ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix aus Jordan-Blöcken:

$$J = \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1) & & \\ & J_{k_2}(\lambda_2) & \\ & & \ddots \end{pmatrix}$$

Es gibt eine invertierbare Matrix $V$ mit $A = VJV^{-1}$.

Was man aus der JNF ablesen kann

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Anzahl der Blöcke pro Eigenwert = Geometrische Vielfachheit. Summe der Block-Dimensionen = Algebraische Vielfachheit. Det(A) = Alles auf der Diagonale multiplizieren. Spur = Alles addieren.

Information	Wie ablesen
Eigenwerte	Diagonaleinträge von $J$
Algebraische VF von $\lambda$	Summe der Größen aller Blöcke zu $\lambda$
Geometrische VF von $\lambda$	Anzahl der Blöcke zu $\lambda$
Char. Polynom	$\chi_A(\lambda) = \prod_i (\lambda_i - \lambda)$ aus Diag.
Minimalpolynom	Produkt $\prod (\lambda - \lambda_i)^{m_i}$ wobei $m_i$ = Größe des größten Blocks zu $\lambda_i$
Diagonalisierbar?	Ja $\iff$ alle Blöcke haben Größe 1
Determinante	Produkt der Diagonaleinträge

5.2 Klausuraufgabe 1 – Analyse der JNF

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Der absolute Klassiker. Ein 2x2 Block und zwei 1x1 Blöcke, alle zu Eigenwert -1. Alles, aber wirklich alles, lässt sich durch Hinsehen lösen.

Gegeben:

$$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Struktur:

• Block 1: $J_1(1)$ → Eigenwert 1, Größe 1
• Block 2: $J_1(1)$ → Eigenwert 1, Größe 1
• Block 3: $J_2(-1)$ → Eigenwert -1, Größe 2
• Block 4: $J_1(-1)$ → Eigenwert -1, Größe 1

1.1: Charakteristisches Polynom

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Bestimmt sich durch die gesamte Diagonale: Da die -1 dort genau viermal steht, ist das Polynom simpel $(\lambda - (-1))^4$.

$$\chi_A(\lambda) = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 1)^3$$

(alg. VF von 1 ist 2, alg. VF von -1 ist 3)

1.2: Minimalpolynom

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Bestimmt sich nur durch den GRÖSSTEN Block pro Eigenwert. Da der größte Block 2x2 ist, hat die Klammer den Exponenten 2.

$$\mu_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda + 1)^2$$

Begründung: Der größte Jordan-Block zu EW 1 hat Größe 1, der größte zu EW -1 hat Größe 2.

1.3: Eigenraum zum Eigenwert -1

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Wie groß ist der Eigenraum (geo. VF)? So viele linear unabhängige Eigenvektoren wie wir Jordan Blöcke haben. Bei 3 Blöcken ist die Dimension 3.

Die Eigenvektoren zum EW -1 sind die Spalten von $V$, die dem Anfang jedes Jordan-Blocks zu -1 entsprechen.

$E_{-1} = \text{span}(v_3, v_5)$ (Spalte 3 und 5 von $V$, da Block 3 bei Spalte 3 beginnt und Block 4 bei Spalte 5)

Begründung: $Av_3 = -v_3$ und $Av_5 = -v_5$ (aus $AV = VJ$ und der Struktur von $J$)

1.4: Geometrische Vielfachheiten

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Geo = 3 (wegen 3 Blöcken). Alg = 4 (da die Nullstelle 4-mal auf der Diagonale vorkommt).

• geo. VF(1) = 2 (zwei Blöcke der Größe 1)
• geo. VF(-1) = 2 (zwei Blöcke: einer Größe 2, einer Größe 1)

1.5: Hauptvektor erster Stufe

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Ein Vektor der 'zweiten Reihe'. Er wird durch die Matrix erst in den Eigenvektor reingerutscht und braucht zwei Zyklen $(A-\lambda I)^2$, um komplett die Null zu treffen.

$v_4$ ist ein Hauptvektor erster Stufe zum EW $-1$ (auch verallgemeinerter Eigenvektor).

Er erfüllt: $(A - (-1)I)v_4 = (A + I)v_4 = v_3 \neq 0$, aber $(A + I)^2 v_4 = 0$.

1.6: Determinante

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Einfach ALLE Diagonaleinträge multiplizieren: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$.

$$\det(A) = \det(VJV^{-1}) = \det(V)\det(J)\det(V^{-1}) = \det(J)$$

$$\det(J) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$$

1.7: Volumentreu?

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Ja! Wenn $|\det(A)| = 1$, bleibt das Volumen im Raum unverändert. Die Matrix quetscht das Volumen in der einen Richtung, dehnt es aber exakt kompensierend in einer anderen aus.

$|{\det(A)}| = |-1| = 1$ → Ja, die Abbildung ist volumentreu.

1.8: Orientierungserhaltend?

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Determinante ist +1, also bleibt das räumliche Koordinatensystem wie es ist ('Rechts bleibt Rechts'). Bei -1 wäre das Volumen gleich geblieben, aber der Raum wäre invertiert / gespiegelt worden.

$\det(A) = -1 < 0$ → Nein, die Abbildung ist nicht orientierungserhaltend.

Begründung: Eine lineare Abbildung ist orientierungserhaltend $\iff \det(A) > 0$.

1.9: Kann $A$ symmetrisch sein?

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Der Lieblingstrick für Zusatzaufgaben. Gemäß dem Spektralsatz sind symmetrische reelle Matrizen IMMER komplett diagonalisierbar! A hat aber einen 2er Jordanblock (nicht diagonalisierbar), also ist es völlig unmöglich, dass sie ursprünglich symmetrisch war!

Nein.

Begründung: Symmetrische reelle Matrizen sind immer diagonalisierbar (Spektralsatz). Aber $A$ hat einen Jordan-Block der Größe 2 (zu EW -1), ist also nicht diagonalisierbar. Widerspruch!

5.3 Haupträume und Hauptvektoren

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Wenn dir echte Eigenvektoren fehlen, nimmst du Hauptvektoren als Lückenfüller für deine Basis. Das sind Vektoren, die eine Reaktionskette bilden.

Hauptraum

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Zusammenfassung aller Hauptvektoren, die zu einem Eigenwert gehören. Jeder Eigenraum wohnt im Inneren seines Hauptraumes.

$$H_\lambda = \ker(A - \lambda I)^{m_\lambda}$$

wobei $m_\lambda$ = algebraische Vielfachheit von $\lambda$.

Hauptvektor der Stufe $k$

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Er wird durch die Anwendung von $(A - \lambda I)$ erst auf den k-1'ten Vektor verwandelt, dann auf den k-2'ten... und landet exakt nach der k-ten Anwendung im Nullraum.

$v$ ist Hauptvektor der Stufe $k$ zum EW $\lambda$, wenn:

$$(A - \lambda I)^k v = 0 \quad \text{aber} \quad (A - \lambda I)^{k-1} v \neq 0$$

• Stufe 0: Nullvektor
• Stufe 1: Eigenvektor (im eigentlichen Sinn, wenn $k=1$ und $(A-\lambda I)v = 0$)
• Stufe $\geq 2$: verallgemeinerter Eigenvektor

Achtung Notation: Manchmal wird "Hauptvektor erster Stufe" für den verallgemeinerten Eigenvektor mit $(A-\lambda I)v \neq 0$ aber $(A-\lambda I)^2 v = 0$ verwendet. In der Klausur war $v_4$ so einer.

5.4 Minimalpolynom

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Das ist das 'effizienteste' Polynom. Wenn du in dieses Polynom deine Matrix A einsetzt, kommt am Ende garantiert die Nullmatrix heraus.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 8, AP 1: Nullstellen von Polynomen
- Übungsblatt 8, AP 2: Begleitmatrix eines Polynoms

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Das ist das 'effizienteste' Polynom. Wenn du in dieses Polynom deine Matrix A einsetzt, kommt am Ende garantiert die Nullmatrix heraus.

Definition

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Die klassische Taylorreihe der Schul-e-Funktion, nur eben mit Matrizen. Bei Jordan-Blöcken hat das die geniale Eigenschaft, dass die Taylorreihe durch das 'nilpotente' Verhalten der 1en rasant abbricht!

Das Minimalpolynom $\mu_A$ ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit $\mu_A(A) = 0$.

Eigenschaften

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Bei einer strikten Diagonalmatrix ist das Minimalpolynom absolut minimal, da jede Nullstelle nur Potenz 1 braucht, um die Matrix zu löschen.

• $\mu_A$ teilt $\chi_A$ (d.h. $\chi_A = \mu_A \cdot q$ für ein Polynom $q$)
• $\mu_A$ und $\chi_A$ haben die gleichen Nullstellen (= Eigenwerte)
• Aus der JNF: $\mu_A(\lambda) = \prod_i (\lambda - \lambda_i)^{s_i}$, wobei $s_i$ = Größe des größten Jordan-Blocks zu $\lambda_i$

Berechnung ohne JNF

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Man rechnet es meist iterativ aus, indem man Terme hochpotenziert $(A-\lambda I)$, bis tatsächlich die Nullmatrix entsteht.

1. Probiere Polynome aufsteigenden Grades, die durch $\chi_A$ teilen
2. Teste ob $p(A) = 0$

5.5 Satz von Cayley-Hamilton

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Ein gigantisch starkes Matrix-Konzept. 'Jede Matrix ist Nullstelle ihres eigenen char. Polynoms'. Heißt: A reingesteckt in $\chi(X)$ ergibt IMMER null.

🔗 Zugehörige Übungen:
- Übungsblatt 7, AP 3: Cayley-Hamilton

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Ein gigantisch starkes Matrix-Konzept. 'Jede Matrix ist Nullstelle ihres eigenen char. Polynoms'. Heißt: A reingesteckt in $\chi(X)$ ergibt IMMER null.

Satz: Jede Matrix erfüllt ihr eigenes charakteristisches Polynom:
$$\chi_A(A) = 0$$

Wichtige Folgerungen (Wissen für die Theorie/Klausur)

🎓 Wikipedia-Ergänzung: Zusammenhänge und Folgerungen

Nach Wikipedia liefert Cayley-Hamilton sehr nützliche Eigenschaften:

• Die Potenzen einer quadratischen Matrix spannen einen Untervektorraum auf, der höchstens die Dimension der Zeilenzahl $n$ hat.
• Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist als Linearkombination der Potenzen der Matrix (mit Exponenten kleiner als $n$) darstellbar.
• Das Minimalpolynom einer Matrix teilt ihr charakteristisches Polynom.
• Eine quadratische Matrix mit $n$-fachem Eigenwert Null ist nilpotent, da ihr char. Polynom die Form $\lambda^n$ ist.
• Man kann höhere Potenzen von Matrizen einfach durch Umstellen des charakteristischen Polynoms berechnen (wie in Aufgabe 4).

Anwendung (Klausuraufgabe 4!)

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Extrem nützlich, um Matrixpotenzen zu kürzen! Wenn $A^2 - A = 0$ gilt, wie in der Klausur, dann weiß man, dass unendlich hohe Potenzen wie $A^{100}$ einfach auf A kollabieren. Kein ewiges Multiplizieren!

Gegeben: $A$ diagonalisierbar mit Eigenwerten $\lambda_1 = 0$ und $\lambda_2 = 1$.

4.1: Minimalpolynom

$$\mu_A(\lambda) = \lambda(\lambda - 1) = \lambda^2 - \lambda$$

(Da $A$ diagonalisierbar → alle Jordan-Blöcke Größe 1 → Minimalpolynom hat nur einfache Nullstellen)

4.2: $A^2 = A$

Cayley-Hamilton: $\chi_A(A) = 0$. Da $\mu_A | \chi_A$ und $\mu_A(A) = 0$:

$$A^2 - A = 0 \implies A^2 = A$$

(Formal: $\mu_A(\lambda) = \lambda^2 - \lambda$, also $\mu_A(A) = A^2 - A = 0$)

4.3: $A^m = A$ für $m \geq 1$ (Induktion)

Induktionsanfang: $m = 1$: $A^1 = A$ ✓

Induktionsschritt: Angenommen $A^m = A$ für ein $m \geq 1$. Dann:

$$A^{m+1} = A^m \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$$

(wobei wir im letzten Schritt $A^2 = A$ aus 4.2 verwenden)

Also gilt $A^{m+1} = A$. $\square$

4.4: Matrixexponential

$$\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = \frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$$

$$= I + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A}{k!} \quad \text{(da } A^k = A \text{ für } k \geq 1\text{)}$$

$$= I + A \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = I + A\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} - 1\right) = I + A(e - 1)$$

$$\boxed{\exp(A) = I + (e-1)A}$$

5.6 Matrixexponential – Allgemein

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Wofür das alles in der Praxis da ist: Viele Differentialgleichungen von Schwingungen in der Physik hängen an $y' = Ay$. Ein Matrix-Exponential löst diese Naturgesetze auf.

Definition

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Die klassische Taylorreihe der Schul-e-Funktion, nur eben mit Matrizen. Bei Jordan-Blöcken hat das die geniale Eigenschaft, dass die Taylorreihe durch das 'nilpotente' Verhalten der 1en rasant abbricht!

$$\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \cdots$$

Rechenregeln

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Höchste Vorsicht: $e^{A+B}$ ist NUR dann aufteilbar in $e^A \cdot e^B$, wenn die Matrizen vertauschen ($A \cdot B = B \cdot A$).

• $\exp(0) = I$
• Wenn $AB = BA$: $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$
• $\exp(A)$ ist immer invertierbar mit $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
• $\det(\exp(A)) = e^{\text{Spur}(A)}$

Für Diagonalmatrizen

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Zuckerschlecken! Man packt einfach das $e^\lambda$ an jeden Diagonaleintrag. Komplett triviale Berechnung.

$$\exp\left(\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}$$

Anwendung: DGL

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Löst dir deine linearen DGL-Systeme auf den Punkt durch einfaches Einsetzen von $y(t) = e^{t \cdot A} y(0)$.

Die Lösung von $\dot{x}(t) = Ax(t)$ mit $x(0) = x_0$ ist:

$$x(t) = \exp(tA) \cdot x_0$$